On introduit une méthode level set couplée à une approche optimisation de forme et topologique pour la tomographie d'impédance électrique (EIT) avec des conductivités constantes par morceaux. L'algorithme proposé est initialisé en utilisant une analyse de sensibilité topologique. Par la suite il s'appuie sur la notion de dérivée de forme pour mettre à jour la forme des domaines où la conductivité prend ses différentes valeurs.

> Electrical Impedance Tomography: From Topology to Shape

Deux approches sont proposées pour résoudre une certaine classe de problèmes inverses en optimisation de forme. On cherche la position inconnue d'une petite inclusion dans un domaine. Tout d'abord, l'analyse asymptotique de l'e.d.p. définie dans un domaine perturbé est effectuée et la dérivée topologique est définie. Ensuite, dans la première approche, on utilise des extensions auto-adjointes d'opérateurs elliptiques pour modéliser la solution d'une e.d.p. d éfinie dans le domaine singulièrement perturbé. Une fonctionelle de type tracking est ensuite minimisée pour identifier l'inclusion. Dans la seconde approche, des réseaux de neurones sont utilisés pour déterminer l'inverse de l'application qui associe un ensemble de fonctionelles de forme à la position de l'inclusion inconnue. Dans les deux approches on utilise la dérivée topologique pour approcher les fonctionelles de forme.

> Numerical algorithms for an inverse problem in shape optimization

On utilise des extensions auto-adjointes d'opérateurs elliptiques pour modéliser la solution d'une e.d.p. définie dans un domaine singulièrement perturbé. Le développement asymptotique de la solution du Laplacien par rapport à un petit paramètre est d'abord effectuée dans un domaine perturbé par la création d'un petit trou. La perturbation singulière résultante est approchée en choisissant une extension auto-adjointe du Laplacien appropriée en fonction du développement asymptotique précédent. La sensibilit&eacuste; par rapport à la position du centre du petit trou est ensuite étudiée pour une classe de fonctionelles dépendante du domaine. Une application numérique pour résoudre un problème inverse est présentée. Les estimations d'erreur sont fournies et un lien avec la notion de dérivée topologique est établi.

> Using self-adjoint extensions in shape optimization