On introduit une méthode level set couplée à une approche optimisation de forme et topologique pour la tomographie d'impédance électrique (EIT) avec des conductivités constantes par morceaux. L'algorithme proposé est initialisé en utilisant une analyse de sensibilité topologique. Par la suite il s'appuie sur la notion de dérivée de forme pour mettre à jour la forme des domaines où la conductivité prend ses différentes valeurs.

> Electrical Impedance Tomography: From Topology to Shape

Les problèmes définis dans des domaines fissurés sont importants an mécanique, et ont donné naissance à de nombreuses techniques mathématiques pour les traiter. Les difficultés découlent des singularités dans les solutions définies sur ces domaines. Nous sommes particulièrement intéressès par les techniques qui permettent d'identifier des fissures et des défauts à partir des propriétés mécaniques.

Ce monographe est une compilation de méthodes mathématiques récentes utilisées pour résoudre des problèmes dans des domaines fissurés, en particulier en optimisation de formes. Il est basé sur une collection d'articles récents dans ce domaine et reflète le travail de plusieurs auteurs: Gilles Frémiot (Nancy), Werner Horn (Northridge), Jiri Jarusek (Prague), Alexander Khludnev (Novosibirsk), Antoine Laurain (Graz), Murali Rao (Gainesville), Jan Sokolowski (Nancy) and Carol Ann Shubin (Northridge).

> On analysis of boundary value problems in nonsmooth domains

Une méthode de résolution basée sur l'optimisation de forme et l'optimisation topologique pour une classe de problème linéaire avec contraintes en dimension infinie est considérée. La principale motivation en termes d'application est donnée par les problèmes d'obstacles. Le problème original est reformulé comme un problème d'optimisation de forme, à l'aide de l'étude des conditions d'interface à la frontière entre l'ensemble actif et l'ensemble inactif. La sensibilité topologique de la nouvelle fonctionelle est utilisée pour estimer la topologie de l'ensemble actif. Ensuite, pour corriger localement la frontière libre, une méthode level set basée sur le gradient de forme est utilisée.

> A shape and topology optimization technique for solving a class of linear complementary problems in function space

La méthode level set est utilisée pour l'optimisation de forme de la fonctionelle d'énergie pour le probléme de Signorini. La méthode des variations de la frontière est utilisée pour obtenir le gradient de forme de la fonctionelle d'énergie. On fait appel à la différentiabilité conique des solutions par rapport aux variations de la frontière. Les modifications topologiques durant le processus d'optimisation sont identifiées à l'aide d'une analyse asymptotique. La dérivée topologique de la fonctionelle d'énergie est effectuée dans le cadre proposé par Sokolowski et Zochowski (2003). Les résultats numériques confirment que la méthode est efficace et donne de meilleurs résultats en comparaison des méthodes d'optimisation de formes classiques.

> A level set method in shape and topology optimization for variational inequalities

Dans le cas de domaines à frontière régulière, et pour des perturbations régulières de ces domaines, de nombreux résultats sont connus qui permettent de résoudre la plupart des problèmes classiques. Par contre, l'étude de domaines non-réguliers, tels que des domaines fissurés par exemple, et l'étude de perturbations singulières telles que la création d'un trou dans un domaine est plus récente et plus complexe. Ce nouveau domaine est motivé par de multiples applications, car en pratique, les hypothèses de régularité ne sont pas toujours vérifiées, au contraire. D'un point de vue numérique, ces perturbations singulières peuvent être appréhendées à l'aide de la méthode Levelset et de la dérivée topologique.

Dans la première partie, nous étudions la structure de la dérivée de forme pour des domaines fissurés. Dans le cas d'un ouvert régulier, la dérivée dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de la normale. Pour des domaines contenant des fissures, deux nouvelles contributions apparaissent dûes aux extrémités de la fissure.

Dans la deuxième partie, nous étudions la perturbation singulière d'un domaine et nous modélisons cette perturbation à l'aide d'extensions auto-adjointes d'opérateurs. En définissant une fonctionnelle d'énergie approchée pour ce problème modèle, on retrouve notamment la formule de la dérivée topologique usuelle.

Dans la troisième partie, on propose une application numérique de la dérivée topologique et de la dérivée de forme pour un problème non-linéaire. On cherche à maximiser l'énergie associée à la solution d'un problème de Signorini. L'évolution du domaine est représentée \`a l'aide d'une méthode levelset.

> Domaines singulièrement perturbés en optimisation de formes